Profil hydrique
Cas d’une couche horizontale soumise à la pluie.
Dans le cas d’une couche horizontale la nappe s’établit à une certaine profondeur et est horizontale. La zone au- dessus de la nappe est non saturée.
Une pluie de courte durée modifie le degré de saturation de cette zone, sans jamais atteindre la saturation, puis après la pluie l’équilibre précédent est retrouvé.
Une pluie de plus longue durée va générer un front de saturation, qui à partir de la surface du sol va rejoindre la nappe. Si comme dans la plupar des cas, la pluie se termine bien avant que le front saturé atteigne la nappe, ce dernier disparaît.
Une pluie de très longue durée va générer un front de saturation qui va rejoindre la nappe et élever d’un seul coup les pressions interstitielles, et donc occasionner des conditions de rupture.
Profil hydrique
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Profils calculés pour différentes hypothèses sur la forme de la courbe
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Cas d'un bicouche
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Evolution du profil hydrique avec la pluie (exemple)
Principes de calcul de ces profils d'équilibre
En se donnant lallure du profil vertical de la teneur en eau, on peut déterminer le poids Pw de la colonne deau ; leau ayant une densité apparente variable en fonction du degré de saturation. Le poids de la colonne deau peut donc sécrire :
Nous avons essayé quatre allures du profil vertical : (cf. figure ci-dessus)
  • Une droite passant par A et B ;
  • Une courbe en 1/x passant par (A, B) : la Loi de Jurin donne, pour la zone située au- dessus de la frange capillaire;
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  • Une courbe en S, tangente aux axes verticaux en Aet en B et obtenue par la fonction trigonométrique ‘‘tangente ’’ ;
  • Dans la littérature, on trouve de nombreuses mesures in-situ de la teneur en eau pour différents sols. Le profil vertical de la teneur en eau suivant généralement une courbe en ‘‘S’’, Van Genuchten a proposé une équation liant la saturation à la profondeur :
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Avec Qla teneur en eau volumique.
En remarquant que
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On obtient :
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avec :     a, n et m les paramètres de Van Genuchten dépendant du sol étudié,
e l’indice des vides,
Qr la teneur en eau volumique résiduelle,
Qs la teneur en eau volumique à saturation,
z la cote, depuis la nappe, de la cellule dont on veut déterminer le degré de saturation : soit la différence entre la profondeur de la nappe et la profondeur de la cellule étudiée.
Le profil vertical est obtenu à partir de bornes définies comme suit :
  • Depuis la nappe (point A) et jusqu’à une hauteur donnée par la Loi de Jurin, le degré de saturation est maximal et prend pour valeur 1, on obtient donc le point A’ ;
  • Comme nous l’avons vu plus haut, il subsiste en surface une certaine quantité d’eau : la saturation du sol y est donc résiduelle, ceci étant vrai du point C au point B.
Le principe retenu pour obtenir l’état d’équilibre entre les forces de succion et le poids de la colonne d’eau soulevée consiste à faire décroître h1 (et par conséquent la position de B) depuis hw jusqu’à la nappe. A chaque itération on détermine le poids de l’eau maintenue dans le sol. On stoppe ces itérations lorsque l’on approche de l’équilibre : c’est-à-dire lorsque le poids de la colonne d’eau a même valeur que les forces de succion.
En superposant les quatre courbes obtenues (voir ci-dessus), on peut vérifier qu’elles fournissent des profils cohérents, même si certains ont des allures totalement différentes.
Comme nous l’avons introduit précédemment, deux approches peuvent être envisagées, à partir du même modèle :
 
  • Comportement vis-à-vis d'une pluie quelconque
L’objectif est d’évaluer le comportement d’un sol pendant un temps donné, soumis à une pluie donnée. Il est nécessaire de fournir un graphe de pluie en fonction du temps. A partir de t0, on va donner une intensité de pluie pour plusieurs intervalles de temps. Le modèle établit ensuite l’évolution du taux de saturation en fonction du temps et de la profondeur.
 
  • Détermination du temps nécessaire pour saturer toute la zone non-saturée
Comme cela a été écrit en introduction, lorsque le front de saturation atteint la nappe, il peut y avoir rupture par instabilité de la pente étudiée. En effet, lorsque l’eau occupe tous les vides, il y a continuité entre tous ces vides, et la pression interstitielle augmente alors brusquement du poids de la colonne d’eau située au-dessus de la couche considérée.
C’est pourquoi, une exploitation possible de ce modèle est de déterminer le temps nécessaire pour saturer entièrement la zone située au-dessus de la nappe.
Par rapport à l’approche précédente, on ne va plus soumettre le sol à des précipitations en fonction d’intervalles de temps, mais on va faire en sorte de maintenir saturée la première couche de sol pendant le temps nécessaire au front d’infiltration pour atteindre la nappe. Il suffit alors de calculer cette valeur de temps.
On obtient ainsi, en cas de forte pluie, le temps nécessaire à un accroissement soudain de la pression interstitielle.
Rappels sur la perméabilité, la succion et la loi de Darcy
  • Perméabilité
Quand un sol est non saturé, la diminution de la teneur en eau correspond à un amincissement des pellicules d’eau adsorbées et par conséquent à un accroissement des forces retenant l’eau dans le squelette du sol. La perméabilité d’un sol (l’opposition plus ou moins forte aux déplacements de l’eau dans le sol) dépend donc de sa teneur en eau.
La loi de comportement adoptée pour décrire les variations du coefficient de perméabilité en fonction de la saturation est, pour notre modèle, celle définie par S. Irmay :
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avec :    a et a des constantes dépendantes du type de sol,
e l’indice des vides,
Sru le degré de saturation résiduel.
 
  • Succion
Dans la littérature, nous avons pu trouver l’allure de courbes liant les pressions internes du sol au degré de saturation.
Aussi, nous avons pris en compte ce phénomène d’hystérésis en utilisant comme borne inférieure du degré de saturation du sol la teneur en eau initiale en cas d’assèchement du sol étudié.
Elle nous donne la quantité d’eau minimale, pour une profondeur donnée, que le sol peut contenir : nous sommes alors sur la courbe de drainage du sol .
Nous allons maintenant augmenter le taux de saturation de la partie de sol en surface  : nous allons basculer sur la courbe d’humidification.
L’eau va ensuite s’écouler jusqu’à la nappe en augmentant la saturation de toutes les tranches de sol . On va alors utiliser la courbe d’humidification.
Lorsque la pluie va s’arrêter, les différents éléments de sol vont tenter de retrouver leur état d’équilibre en drainant l’eau qu’ils contiennent vers les éléments inférieurs. Lorsque la courbe d’humidification va croiser la courbe de drainage, l’écoulement va s’arrêter puisque les forces de succion seront assez importantes pour maintenir cette eau dans le sol. On aura alors retrouvé la courbe de drainage de l’état initial .
Pour notre modèle, nous avons choisi d’utiliser la courbe d’humidification pour déterminer les forces de succion, puisque la courbe de drainage sert juste de point d’arrêt à l’humidification. On peut donc connaître les efforts de succion pour chaque élément en fonction de l’évolution de son taux de saturation.
Andrei a établi une expression analytique de la courbe de rétention ‘‘hs = f(w)’’ valable pour approximativement tous les types de sols  :
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avec :    c et b des constantes, Andrei propose b = 4.92 et c = 5.511,
   whm la teneur en eau d’hygroscopicité maximale, c’est-à- dire la proportion d’eau liée : il s’agit de l’eau ‘‘attachée’’ à la surface des grains par le jeu des forces d’attraction moléculaire,
   hs la succion en cm d’eau
  • Loi de Darcy
A la fin du XIXème siècle, Henry Darcy a proposé une relation expérimentale décrivant le débit d’eau Q s’écoulant à travers un massif de sable à partir de la section A du massif sableux, de la perte de charge Dh de l’eau entre le sommet et la base du massif, d’une constante K dépendant du milieux poreux et de l’épaisseur L du massif :
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Le remplacement de la vitesse réelle par la vitesse de décharge (Q/A) simplifie grandement les calculs puisque s’agissant d’une vitesse moyenne, on ne tient pas compte du trajet exact de l’écoulement, puisque l’on considère que l’eau occupe tout le volume affecté à l’écoulement, sans tenir compte de celui occupé par le sol lui-même. Cette approximation peut être faite sans risque au vu du rôle négligeable de l’énergie cinétique.
Le paramètre K a été baptisé coefficient de perméabilité par les hydrogéologues et mobilité par les mécaniciens et a la dimension d’une vitesse. Afin de s’affranchir des caractéristiques du fluide, on a défini la perméabilité intrinsèque, relative à un milieu poreux.
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Avec de l’eau comme fluide, nous avons :  k = 10 -7 * K
Cette perméabilité intrinsèque ki est fonction de la saturation du milieu en fluide i : plus la portion du milieu poreux occupée par le fluide i sera grande, plus la perméabilité liée à ce fluide sera grande.
En dessous d’une certaine saturation limite, la phase eau n’est plus continue et la perméabilité à l’eau est nulle. On peut noter que la somme des perméabilités intrinsèques des deux fluides n’est pas constante : chacun des fluides gêne l’autre dans son déplacement.
Une hypothèse  concerne l’immobilité de la phase air. Lors d’un écoulement, l’eau occupe petit à petit les vides remplis d’air du sol. Cet écoulement de l’eau dans le sol est freiné par le déplacement inverse de l’air (et/ou de la vapeur d’eau) emprisonné(e) dans ces mêmes pores. Nous avons néanmoins considéré que seule la phase eau se déplaçait dans le sol.
Les trajectoires réelles de l’eau dans le sol sont vraisemblablement tortueuses, mais d’un point de vue macroscopique, on peut supposer que tous les filets liquides sont rectilignes et parallèles à l’axe de la conduite. On est alors amené à définir les tubes de courant, véritables conduits élémentaires dont la juxtaposition reconstitue la conduite.
Les écoulements de l’eau dans le sol peuvent être évalués par la Loi de Darcy généralisée: v = k* i
avec :   v la vitesse de décharge, c’est-à-dire le rapport du débit observé q à la surface totale A de la section droite de l’élément considéré (dans notre cas, on se rapporte à une surface unitaire d’1 m²),
            k le coefficient de perméabilité, homogène à une vitesse et dépendant à la fois du milieu poreux et du fluide,
  i le gradient hydraulique : variation de charge pour une variation dz d’abscisse dans le sens du courant : i = dh / dz
Généralement, on écrit le potentiel gravitationnel comme suit :
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Pour des écoulements sur la verticale, la loi de Darcy devient :
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avec :     Dhg la différence de potentiel due aux forces de gravité,
Dhs la différence de potentiel due aux forces de succion,
Dz la longueur de la ligne de courant entre les points considérés.
Dans le cas de l’infiltration de l’eau dans un sol non saturé, la succion de la zone située au- dessous du front d’infiltration s’ajoute au potentiel gravitationnel : d’où le signe ‘‘+’’ entre les potentiels dans l’expression